长尾产品：用泊松分布来模拟

图1：某B2B电商的一个产品，长尾特征明显

在统计学上，泊松分布是常见的随机离散分布，用来描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。这种分布是用法国数学家泊松的名字命名的。在管理学上，泊松分布有着广泛的应用，特别是对长尾产品的库存计划。

泊松分布有三个特点----如果满足这三个条件，就算符合泊松分布：

第一，平均值：单位时间里事件发生的平均数已知；

第二，随机性：没法预测具体什么时候会发生；

第三，独立性：这个事件发生，并不意味着下个事件会发生，或者不会发生。

这听起来挺拗口，让我们举个例子来解释。

普鲁士王国在统一德国的过程中，建立了强大的骑兵部队。是骑兵就要跟马打交道，跟马打交道就有被马踢死的可能。针对14个普鲁士骑兵团，一位统计学家研究了20年的数据，发现被战马踢死的士兵数量有三个特点：（1）平均每年被马踢死的士兵数量差不多（平均值）；（2）但这些士兵究竟什么时候会被马踢死，却没法预见（随机性）；（3）今天有士兵很不幸被马踢死，并不意味着明天会有还是没有士兵遭遇同样的厄运（独立性）。

这就是泊松分布，即每年死于马蹄的普鲁士士兵的数量符合泊松分布。

被马踢死的普鲁士兵数量符合泊松分布

现实生活中，服从泊松分布的情况非常普遍。

比如汽车的轮胎，我们都知道有一定的寿命里程（平均值），但究竟开到多少公里时会爆胎，我们不知道（随机性）；今天前胎扎了根钉子，跟明天后胎扎还是不扎钉子，没有半毛钱的关系（独立性）。

再比如说我们平均每天接到20个订单（平均值），但这些订单具体几点几分来，我们不知道（随机性）；刚才来了3个订单，是不是意味着待会儿还会来3个，还是不来3个，没有任何参考价值（独立性）。

从数理统计的角度而言，描述正态分布要两个参数：平均值、标准差。但对泊松分布来说，我们只需要知道一个参数（平均值）就够了。放在库存计划上，就是知道了补货周期内的平均需求，我们借助泊松分布，就能计算出合适的库存水位，来达到期望的服务水平。

让我们继续上面图1中的B2B电商案例，看要放多少库存，以达到95%的服务水平。

假定这个产品的补货周期是8个星期，那么补货周期内的平均需求就是1.85（过去12个月的平均需求是0.23个/周，乘以补货周期8周）。这就是泊松分布中唯一需要的参数：平均值。我们把这个值代入泊松分布的计算公式中，就得到图2的再订货点和服务水平的曲线。

在图2中，累计发生的概率是补货周期内，需求小于等于特定值的概率。比如在8周的补货周期内，需求小于等于4的概率是96%。这也意味着如果手头有4个库存的话（再订货点为4），我们的服务水平就是96%。如果再订货点是8的话，就能达到99.99%的服务水平。

看得出，跟正态分布类似，泊松分布下，库存的边际投资回报率递减，特别是过了95%以后，就递减地相当厉害。实际上，案例企业手头放着12个库存，能够满足整整1年的量，你就知道为什么他们的库存周转率不高了。

图2：用泊松分布计算再订货点

这些概率是如何计算出来的？Excel里有个函数可以帮忙：POISSON.DIST (X,平均值,True) 。

函数中的"平均值"就是补货周期内的平均需求，X是补货周期内累计需求的上限，True表示这里求的是累计概率，即在补货周期内，总需求介于0和X之间的概率（包括0和X）。这里的X就是我们要计算的再订货点，图2中的"累计发生的概率"就是由该公式计算出的。

对于这个函数，我们分别代入不同的X值，就得到相应的累计概率，描绘出图2的曲线图来。下面是几个例子：

• POISSON.DIST (2,1.85,True) = 72%（在8周的补货周期内，总需求小于或等于2的概率是72 %。也就是说，再订货点是2时，期望的服务水平是72%）。

• POISSON.DIST (3,1.85,True) = 88%（在8周的补货周期内，总需求小于或等于3的概率是88 %。也就是说，再订货点是3时，期望的服务水平是88%）。

对于正态分布，Excel中有个函数，可以反算出来，要达到一定的服务水平，应该放多少安全库存；可惜的是，对于泊松分布，Excel中没有这样的函数。在微软开发出这样的函数之前，我们要么得一次次地手工尝试（其实试不了几次就能得到答案），要么让IT人员写个简单的小程序。如果你们谁做了这样的小程序，可不要忘了跟我分享，先行谢过。

上面求出来的是再订货点4，减掉补货周期内的平均需求，就得到安全库存=4-1.85=2（四舍五入）。你会看到，泊松分布下，因为需求比较低，再订货点中安全库存占的比例相当大，而且需求越低，安全库存的比例就越大。